Analisi Matematica I per Ingegneria dell'Automazione

Assiomi del sistema dei numeri reali. Massimo, minimo estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Rappresentazione geometrica del campo reale. Densità di Q in R (s.d.). Potenza n-ma e radice n-ma.

definizione e proprietà. Operazioni di somma e prodotto. Forma algebrica e forma trigonometrica di un numero complesso. Potenze e radici di un numero complesso.

Cenni di topologia della retta reale. Funzioni. Funzioni iniettive, funzioni suriettive, funzioni invertibili, funzione inversa. Funzione composta. Grafico di una funzione. Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione. Funzioni pari e dispari, funzioni monotone.

Funzione valore assoluto, funzione potenza n-ma e radice n-ma, funzione potenza ad esponente reale, funzione esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse.

Limite di una successione; prime proprietà dei limiti: teoremi di unicità del limite, del confronto, della permanenza del segno. Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Successioni monotone: teorema di regolarità; il numero “e” (s.d.).

Limiti di funzioni e relative proprietà. Teorema ponte (s.d.). Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli. Infinitesimi e infiniti; principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti. Limite di una funzione composta (s.d.). Funzioni monotone e relativo teorema (s.d.). Funzioni continue: teorema di Weierstrass (s.d.), teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, criterio di continuità delle funzioni monotone (s.d.). Classificazione dei punti di discontinuità di una funzione.

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Regole di derivazione (s.d.); derivate delle funzioni elementari. Punti angolosi, di flesso a tangente verticale, di cuspide. Estremi relativi: teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange; caratterizzazione delle funzioni monotone in un intervallo. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo. Estremi relativi: condizioni sufficienti del prim’ordine (s.d.). Primo teorema di L’Hopital; secondo teorema di L’Hopital (s.d.). Formula di Taylor con resto in forma di Peano e di Lagrange (s.d.). Estremi relativi: condizioni sufficienti del second’ordine. Convessità e concavità in un intervallo; proprietà delle funzioni convesse e concave (s.d.); flessi; asintoti; studio del grafico di una funzione.

Primitive ed integrazione indefinita. Regole di integrazione indefinita: decomposizione in somma, integrazione per parti, integrazione per sostituzione, integrazione di funzioni razionali. Integrale di Riemann di una funzione limitata in un intervallo chiuso e limitato. Area del rettangoloide. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue in intervalli compatti (s.d.). Proprietà dell’integrale definito. Teorema della media integrale. Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Teorema di Torricelli.

Definizioni e prime proprietà; operazioni con le serie. Serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata. Serie a termini non negativi: criteri della radice, del rapporto (s.d.), del confronto, degli infinitesimi. Serie a segni alterni: criterio di Leibniz (s.d.). Serie assolutamente convergenti e loro proprietà.